本期文章

混沌五四三—從天體談到流體

撰文/陳義裕    

重點提要



■法國數學家龐卡赫在研究太陽系的穩定性問題時,首度碰到混沌現象。



■「天下之勢,合久必分、分久必合」的交替作用可以粗略做為混沌成因的說明。



■拉格朗日連貫結構是近年發展出來的概念,它把混沌想法略做修改,從而幫助人們理解流體是如何在特定區域內運動。







對於瑞典國王奧斯卡二世來說,1889年的1月21日可是個大日子,因為那天是他的60大壽。當時一位極有影響力的瑞典數學家米塔格–雷夫勒(Magnus Gustaf Mittag-Leffler),為了報答國王對自己的禮遇,早在1884年便開始積極籌劃一座數學界桂冠獎項,希望透過昭告世界、懸賞徵文的方式,來選拔出能一舉解決當時數學界難題的傑出學者,然後由國王在大壽當天親自公告。當然,這位一手促成這件美事的數學界公關高手,應該也是有些私心的,因此他便和當時已是權威的德國數學家維爾斯特拉斯(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass)以及法國數學家厄米(Charles Hermite)並列評審,且規定得獎者也必須在他親自創辦的數學期刊上發表該項研究成果,這樣不但能提高自己刊物在世界上的知名度,對於他個人聲譽的提升自然是不在話下。



國王歡樂慶大壽,混沌落寞入凡塵



透過米塔格–雷夫勒私人信件鼓舞,而得知此一獎項的法國天才數學家龐卡赫(Jules Henri Poincare),雖然當時才剛滿30歲,但已經嶄露頭角。他決定憑藉自己過去的研究經驗與成果,來挑戰其中最難的一個問題:證明太陽系這種「多體系統」隨時間的運動,可以透過適當的無窮多項式級數來表示,甚至進一步證明太陽系的穩定性!



當1888年6月1日徵文截止日到來時,總計有12篇論文參加比賽,但三位評審經過初審後,很快便一致決議,認定龐卡赫的論文雖然未能以最詳盡的形式完全解答當初的問題,但內容豐碩、充滿啟發性,因此仍拔得頭籌。不過由於龐卡赫寫論文向來就天馬行空,對於他自認為會成立的過程,未多花時間仔細證明,所以即便集合了這三位諸葛亮的睿智,也無法澈底了解論文中的某些論述。因此,他們請龐卡赫務必補充若干細節,而他也答應會從善如流。



一切如常進行,國王也在歡慶大壽的日子,滿意簽署了龐卡赫的得獎文件。而經過來回不斷修訂,刊載著龐卡赫得獎作品的期刊,也終於在國王生日的10個月後完成印刷。此期間,米塔格–雷夫勒的年輕助理編輯福瑞格曼(Lars Edvard Phragmen)更以初生之犢的精神細讀了龐卡赫的論文,並對某些關鍵論述提出質疑。但就在這一連串的晴天中,忽然閃出一個大霹靂:龐卡赫先是拍發電報、緊接著並於12月初寫信給米塔格–雷夫勒,說福瑞格曼在論文中所找出的錯誤,遠比他原先認知的嚴重,所以必須大幅修改原論文!



由於該期刊已經有部份流入數學界友人手中、甚至被送往國外,米塔格–雷夫勒驚覺此烏龍事件,不但會使國王的慶生大禮淪為笑柄,更會把自己苦心經營的聲譽砸毀!所以他動用了所有的關係,鍥而不舍追回了各冊並全數加以銷毀──除了躺在他書房內將近100年後才被意外發現、且有他親筆書寫「終於全數銷毀」字跡的那一冊。



雖然龐卡赫趕著在翌年的1月提交了最終的版本,而刊載此得獎論文的期刊也於同年「正式」發行,但經過整容換面後的這篇論文所蘊含的一個結論,卻和他的得獎原因大相逕庭:即使是在非常簡化的三體問題中(例如假設地球只受到來自太陽以及木星重力的共同作用,就是一種非常簡化的三體問題),系統也有可能發展出非常混沌的運動行為!



如斯這般,「混沌」這個重要的現象便在神不知、鬼不覺的情況下,以貍貓換太子的方式偷偷誕生!


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